Cómo calcular errores experimentales

Todos los valores experimentales están afectados por una cierta incertidumbre en el proceso de medida. Esta imprecisión se conoce como error experimental. Todos los experimentos tienen en común que cada medida que se realiza está asociada a una cierta imprecisión.

¿Qué son los errores experimentales?

Se entiende por error experimental la variación que se encuentra en los valores observados, aún repitiéndose varias veces la medida. Es posible reducir la incertidumbre con un método experimental muy desarrollado, pero nunca se puede eliminar completamente la incertidumbre.

La validez de todos los resultados experimentales, dependen de la imprecisión que le afecta, y por ello, es muy importante reducir la imprecisión al máximo. El análisis de los errores experimentales es muy importante porque:

• Da confianza a los resultados obtenidos.
• Determina los puntos más débiles del experimento.
• Permite comparar los valores obtenidos con los valores teóricos o valores previos.
• Según el proceso de medida determina si concuerdan entre sí los resultados obtenidos en distintos experimentos.

Precisión y exactitud

Es necesario distinguir entre exactitud y precisión:

• Exactitud. Indica lo que se aproximan las medidas al valor verdadero.
• Precisión. Es una medida que se refiere a lo que concuerdan entre sí varias medidas de una magnitud física, y cuantifica la variabilidad que se encuentra al realizar las medidas. Un resultado muy preciso no tiene porqué estar cercano al valor real.

La precisión no garantiza exactitud. Por ejemplo, se puede hacer una pesada varias veces con una balanza que siempre pesa 250 g de menos, y se obtiene siempre un valor muy similar, con lo cual, serán medidas precisas pero muy poco exactas.

Tipos de errores experimentales

Los errores experimentales se pueden clasificar de varias maneras:

1. Según su procedencia:
   • Error de escala. Se debe a que la capacidad de los instrumentos de medida es finita y, por ello, el valor se ve redondeado. El error de escala es la mitad de la precisión del instrumento de medida si es analógico. Si se trata de un instrumento digital es igual a su precisión.
   • Error aleatorio. Es complicado de cuantificar directamente. Se asume que el efecto en las medidas es aleatorio y, por ello, susceptible del tratamiento estadístico. Para detectar y cuantificar este error se tienen que llevar a cabo repetidos experimentos.
   • Error sistemático. Se debe a los problemas de funcionamiento de los aparatos experimentales o a un procedimiento experimental incorrecto. No se pueden detectar por repetición de medidas. Pueden ser eliminados sin dificultad una vez que se conocen.
2. Error absoluto y error relativo. Se pueden distinguir entre números exactos y aproximados.
   • Números exactos (X). Presentan valores claramente definidos. Por ejemplo 1 kg son exactamente 1000 g.
   • Números aproximados (x). Son una aproximación al valor exacto de la magnitud que representan. Las magnitudes medidas (volumen, longitud, etc.) son aproximadas porque presentan un error ya mencionado, y las constantes físicas o matemáticas también por la limitación en el número de decimales usados. Para que quede bien caracterizado siempre tiene que ir acompañado de su error.
   • Error absoluto. ∆ = |X − x|. No se puede evaluar porque se necesita el valor exacto de X que es desconocido. Se puede estimar un límite de error e_x que permite acotar el valor exacto, de modo que: x − e_x ≤ X ≤ x + e_x La forma correcta de expresar cualquier magnitud es: magnitud = (número ± error) unidades = (x ± e_x) unidades.
   • Error relativo. δ = e/ |X|. Tampoco se puede evaluar directamente, se utiliza su cota superior: δx = e/ |x|. Este error se expresa en %. Carece de unidades.

Cálculo de errores medidas directas

Una medida única

Si se realiza una única medida no se podría estimar el error aleatorio, y se considera que el único error en la medida es el error de escala.

1. Escala analógica. Se toma como error absoluto la mitad de la sensibilidad del aparato, la división más pequeña de la escala.
2. Escala digital. El error absoluto es la sensibilidad del aparato, es decir, el incremento entre dos medidas que puede mostrar el aparato.

De todos modos, no es recomendable hacer una única medida, para evitar que se pueda estropear el experimento por una equivocación.

Varias medidas

• Cálculo de la media. Al realizar varias medidas se toma como valor de la magnitud la media de los distintos valores obtenidos.

• Desviación típica o error cuadrático medio. La dispersión de los datos se calcula con la desviación típica.

• Desviación estándar o error cuadrático de la media.

El significado es importante, ya que se refiere a la probabilidad de que al medir un valor, obtengamos un resultado cercano al valor real. Cuanto menor sea la desviación estándar mejor estaremos acotando al valor real. La desviación estándar decrece con el número de medidas, con lo cual, es inversamente proporcional a la raíz del número de medidas.

• Desechar medidas. A veces se obtienen medidas que son muy distintas al resto, con lo cual, influye de manera negativa en el resto de las medidas, aumentando los errores y desviando la media. Las medidas se conocen como espúreas. Si estas seguro de que un valor determinado es extraño, se puede desechar y trabajar con el resto.
• Pasos a seguir:
  1. Hallar la media de las medidas tomadas.
  2. Calcular el error aleatorio de la media, que es igual a 3 veces la desviación estándar.

3. Comparar el error de escala del aparato y el error aleatorio, y se elige como error absoluto el mayor de ambos.

4. Redondear el error a una cifra significativa (o dos si son menores que 25), y la media hasta el orden de magnitud. Si tienes dudas con las cifras puedes ver el tratamiento de datos experimentales.

5. Incluir las unidades.

Ejemplo

Se miden unas longitudes y se obtienen los resultados siguientes:

Longitud (mm)

850

930

875

901

893

Cálculo de la media:

Calcular el error asociado a la media:

De modo que el error aleatorio será 3 veces la desviación estándar: 13,3 * 3 = 39,99 mm. Puesto que el error de escala es 0,5 mm, tomamos como error absoluto el error aleatorio, que es el mayor de los dos.

Se debe de redondear a una cifra, por lo tanto el error será 40 mm. Con todo esto, lo que se obtiene es: x = 890 ± 40 mm.

Cálculo de errores medidas indirectas

La mayoría de las veces las magnitudes medidas directamente no son el objetivo del experimento, sino un paso intermedio para obtener otras magnitudes relacionadas entre ellas.

Puesto que cada magnitud viene afectada por un error, éste afectará a la precisión de la magnitud calculada. El cálculo del error de un resultado obtenido de manera indirecta, a partir de las medidas directas, se conoce como propagación de errores. El cálculo de la propagación de errores se realiza de manera diferente según sea el tipo de error. En caso de que sea un error aleatorio se obtiene mediante la ecuación:

Suponiendo que una función (H) depende de otras dos magnitudes, aplicando la fórmula anterior sería:

Suma: H = a + b -> e_H = e_a + e_b

Resta: H = a – b -> e_H = e_a + e_b

Producto: H = a · b -> e_H = b · e_a + a · e_b

Cociente: H = a/b -> e_H/H = e_a/a + e_b/b

Puede ser conveniente aumentar el número de cifras significativas que se consideran en algunas magnitudes (constantes, masas atómicas, etc) para que el error asociado a ellas sea mínimo.

Ejemplo: teniendo como dato π = 3,1416, h = 10 cm y r = 6 cm. El volumen es: V = πhr² = 1131 cm³

Las derivadas parciales son:

Tomando como error de h = 0,1 cm y el error de π = 0,0001. El error del volumen sería: e_V = (377 · 0,1 + 113 · 0,1 + 360 · 0,0001) = 49 cm³. Finalmente quedaría V = 1130 ± 50 cm³.

¿Tienes alguna duda de cómo se debe realizar una memoria de laboratorio? Puedes verlo aquí.

¿Quieres evitar los errores más comunes cometidos en los informes? Aquí puedes consultarlo.

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