Cómo calcular Momentos de Inercia

El concepto de momento de inercia se refiere a la dificultad que oponen los cuerpos, partículas o sistemas de partículas a la rotación. Siempre se refiere al eje o punto respecto al cual se produce la rotación.

Momento de Inercia fórmulas

Sea r_i la distancia de una partícula i al eje o punto respecto al cual se realiza la rotación, y m_i su masa. El momento de inercia de una partícula i es:

I_i = m_i · r_i²

Para un sistema de n partículas:

Si se trata de un sólido rígido se puede dividir en proporciones infinitesimales de masa dm. La suma de los infinitos productos para cada proporción infinitesimal dará el sólido rígido:

Teorema de Steiner

El teorema de Steiner establece que el momento de inercia I de un cuerpo respecto de un eje cualquiera es igual al momento de inercia I_G de dicho cuerpo respecto a un eje paralelo al anterior que pase por el centro de gravedad, más el producto de la masa del cuerpo por el cuadrado de la distancia entre los ejes:

I = I_G + m·d²

Teorema de ejes perpendiculares

Sea una figura plana, pueden relacionarse los momentos de inercia respecto de dos ejes perpendiculares que generan el plano de la figura, con el momento de inercia respecto del eje perpendicular al plano que pasa por el punto de corte de los dos primeros ejes:

I_Z = I_X + I_Y

Teorema de stretch

En la dirección de la rotación se puede modificar la anchura o la altura del cuerpo, es decir, se puede comprimir o aumentar. Un ejemplo de esto sería un cubo, que se puede comprimir y considerar como una placa.

Cálculo de Momentos de Inercia

Varilla eje en centro de masas

Varilla eje en el extremo

Aro

Disco

Placa plana

Cilindro hueco

Aplicando el teorema de stretch en el eje x se consideraría un aro, por lo tanto: I_x = MR²

Cilindro macizo

Aplicando el teorema de stretch en el eje x se consideraría un disco, por lo tanto: I_x = MR²/2

Esfera maciza

Esfera hueca

Cubo

Por el teorema de stretch se puede considerar como una placa cuadrada. Con lo cual, se calcula I_x e I_y exactamente igual que en la placa. Finalmente, por el teorema de ejes perpendiculares se saca I_z en el vértice. El lado del cubo es a.

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