Ecuaciones de Lagrange

En mecánica clásica la utilización de las ecuaciones de Lagrange presenta una ventaja, que a diferencia con las leyes de Newton, funciona bien en todos los sistemas de coordenadas y puede manejar sistemas restringidos de manera más sencilla. Se debe de elegir un conjunto de coordenadas generalizado adecuado, y posteriormente escribir el Lagrangiano en función de las coordenadas elegidas.

Definiciones y Ecuaciones

Sistemas

Podemos encontrar dos sistemas distintos:

Con ligaduras

Las ligaduras son condiciones que no tienen que ver con fuerzas pero obligan a moverse al sistema. Un ejemplo es la tensión en un péndulo.

• Ligaduras geométricas. Están relacionadas con la posición de la partícula.
• Ligaduras dinámicas. Están relacionadas con la velocidad de la partícula. La rodadura pura es una condición de ligadura dinámica. Hay dos tipos de ligaduras dinámicas:
  1. Integrales. Condición de rodadura pura cuando la partícula se mueve en línea recta, es decir, rodadura pura en 1 dimensión. Una vez integradas añaden al sistema una ligadura geométrica (posición).
  2. No integrales. Condición de rodadura pura por un plano. Añaden una ecuación diferencial al sistema.

Sin ligaduras

El sistema va con la segunda ley de Newton, F=m·a

Teorema de D’Alembert

Las fuerzas de ligadura no realizan trabajo. F^C (Fuerza de desplazamiento) = 0. La fuerza es perpendicular a la velocidad.

Si a_i = v -> F^C_i · a_i = 0

Vale cualquier posible velocidad que lleva la partícula, no es necesario que sea en ese momento exacto de tiempo. v^* es la velocidad virtual.

El lagrangiano

El lagrangiano de un sistema se define como:

L = T – U

donde T es la energía cinética, y U es la energía potencial.

Coordenadas generalizadas

Los n parámetros de q₁,…, q_n son coordenadas generalizadas para un sistema de N partículas si la posición de cada partícula r, se puede expresar como una función de q₁,…, q_n y viceversa, y si n es el número más pequeño que permite al sistema describirse de esta manera.

El número de grados de libertad de un sistema es el número de coordenadas que se pueden variar independientemente. Para describir el movimiento del sistema se necesitan tantas ODE’s (ecuaciones diferenciales ordinarias) como grados de libertad. Si el número de grados de libertad es igual al número de coordenadas generalizadas (sistema standard), se dice que el sistema es holonómico.

Ecuaciones de Lagrange

Para cualquier sistema holonómico, la segunda ley de Newton es equivalente a las n ecuaciones de Lagrange.

Las ecuaciones de Lagrange son a su vez equivalentes al principio de Hamilton.

Momento generalizado

El momento generalizado se define como la derivada:

Si dL/dq_i = 0, se dice que la coordenada q_i es coordenada cíclica, y el momento generalizado correspondiente es constante.

Función energía h

1. L (q, q’, t). dL/dt  ≠ 0 -> h no se conserva.
2. L (q, q’). dL/dt = 0 -> h es conservativo -> Sistema autónomo (h constante).
3. Sistema conservativo o standard. T + V = constante -> h = E_m del sistema.

El Hamiltoniano

El Hamiltoniano se define como:

Si el Lagrangiano L no depende explícitamente del tiempo (es decir, dL/dt = 0), entonces el Hamiltoniano H se conserva.

H = T + U

Ejercicios con ecuaciones de Lagrange

Para realizar bien los ejercicios:

1. Ver que el sistema es standard (sistema holónimo, en el cual las fuerzas de ligadura no realizan trabajo).
2. Buscar las coordenadas generalizadas.
3. Calcular dT y dU en función de las coordenadas generalizadas.

Péndulo

Péndulo con muelle

Dos muelles

---

Espero que te haya gustado el artículo y, sobre todo, que te sirva de ayuda. Puedes dejar tu opinión en los comentarios. ¡Gracias por llegar hasta aquí! Un saludo.