Puesto que la física es una de las ramas más importantes de la carrera, y con la finalidad de ayudar en este ámbito, a continuación te muestro algunos ejercicios resueltos de sistemas de partículas.
También puedes echar un vistazo a los ejercicios de trabajo y energía.
Ejercicio 1
Una escuadra hecha de metal uniforme cuelga en equilibrio de un clavo en la pared como se ven en el dibujo. Uno de sus lados tiene longitud L, y el otro 3L/2. ¿Cuál es el ángulo de la posición de equilibrio?
\sum F=0\;\;\rightarrow \;\; R=P_1+P_2\\
\sum M=0=M_{P1}+M_{P2}\\
r_1\times p_1+r_2 \times p_2=0\\
\frac{L}{2}m_1gsen(90-\theta)(\cdot)+\frac{3L}{4}m_2gsen\theta (\times)=0\\
\frac{L}{2}Mgcos\theta =\frac{3L}{4}\frac{3M}{2}gsen\theta\\
tan \theta=\frac{4}{9}\\
\theta=24ºEjercicio 2
Una varilla de longitud L y masa M está suspendida mediante dos cables situados respectivamente a L/4 de sus extremos. En un instante dado uno de los cables se rompe. Calcula: la aceleración angular de la varilla α(θ); la tensión máxima que debe ser capaz de soportar el cable para que no se rompa.
I_0=I_{CM}+M(\frac{L}{4})^2=\frac{ML^2}{12}+\frac{ML^2}{16}=\frac{7ML^2}{48}\\
\sum M=I\cdot \alpha\\
r\times p=I_0\times \alpha\\
\frac{L}{4}Mgsen(90-\theta)=\frac{7ML^2}{48}\alpha\\
\frac{L}{4}Mgcos\theta=\frac{7}{48}ML^2\alpha\\
\alpha=\frac{12gcos\theta}{7L}T-P=m\cdot a_N=m\frac{V^2}{R}\\
T=P+m\frac{V^2}{R}=P+M\frac{V^2}{L/4}=P+M\omega^2R=P+M\omega^2\frac{L}{4}Ejercicio 3
Una bola de billar, de masa m y radio r, se encuentra en reposo sobre una mesa horizontal, con la que presenta un coeficiente de rozamiento dinámico μ. Se le golpea con un taco en dirección horizontal que pasa por el centro de la bola, comunicándole una velocidad v0. Calcula la distancia recorrida por la bola antes de empezar a rodar sin deslizar.
x:\;f_{roz}=m\cdot a\rightarrow \mu N=-\mu mg=m\cdot a\rightarrow a=-\mu g\\
y:\; N-P=m\cdot a=0\rightarrow N=P=mg\\
I_{bola}=\frac{1}{2}\int dmr^2=\frac{1}{2}\int \rho dvr^2=\frac{1}{2}\int_{-R}^R \frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3}\pi r^2dzr^2=\int_{-R}^R \frac{3M}{8\pi R^3}\pi r^4dz=\frac{2}{5}MR^2\sum M=I\cdot \alpha\\
r\times F=I\cdot \alpha\\
r(-\mu mg)sen\theta=I\cdot \alpha\\
-r\mu mg=\frac{2}{5}mr^2\alpha\\
\alpha=-\frac{5g\mu}{2r}\;\\
\omega=\omega_0 +\alpha t=-\frac{5g\mu}{2r}trodadura \;pura\rightarrow V_{CM}=\omega r\\
v_0 -\mu gt=-\frac{5g\mu}{2r}tr\\
v_0=\mu gt-\frac{5g\mu}{2}t=-\frac{3}{2}g\mu t\\
t\;=\;\frac{2v_0}{3g\mu}\\
s=s_0+v_0t-\frac{1}{2}\mu gt^2\\
s=v_0\frac{2v_0}{3g\mu}-\frac{1}{2}\mu g(\frac{2v_0}{3g\mu})^2\\
s=\frac{4v_0^2}{9g\mu}Ejercicio 4
Un proyectil de masa mp viaja con una velocidad constante v0 hacia un disco de masa M y radio R el cual puede rotar alrededor de un eje perpendicular a su superficie y que pasa por su centro O. Antes del impacto, el proyectil está moviéndose a lo largo de una línea situada a una distancia b por debajo del eje. El proyectil golpea al disco en el punto B quedando incrustado. Calcula: el momento angular total del disco y del proyectil antes del impacto; La velocidad angular ω justo después del impacto; La energía cinética del sistema disco-proyectil después del impacto; ¿Cuánta energía mecánica se ha perdido en el impacto?
L_0=L_{bala}+L_{disco}\\
L_0=Rmv_0sen\alpha =Rmv_0sen(180-\beta)\\
L_0=Rmv_0sen\beta=Rmv_0\frac{b}{R}\\
L_0=mv_0b\\
I=I_{disco}+I_{bala}=\frac{1}{2}MR^2+mR^2mv_0b=L_{despues\;impacto}\\
mv_0b=I\omega=(\frac{1}{2}MR^2+mR^2)\omega\\
\omega =\frac{mv_0b}{\frac{1}{2}MR^2+mR^2}\\
E_{c\;despues\;impacto}\;\rightarrow\;E_{cr}=\frac{1}{2}I\omega ^2\\
|\triangle E_c|=E_{antes}-E_{despues}\\
|\triangle E_c|=\frac{1}{2}mv_0^2 -\frac{1}{2}I\omega ^2\\
|\triangle E_c|=\frac{1}{2}mv_0^2-\frac{1}{2}\frac{(mv_0b)^2}{\frac{1}{2}MR^2+mR^2}Ejercicio 5
En la figura se muestra un cascarón cilíndrico de masa M=1,2 kg y longitud L=1,6 m el cual puede rotar en torno a un eje vertical que pasa por el centro. Dentro del cilindro hay dos discos, cada uno de ellos de masa m=0,4 kg. Estos discos se encuentran a una distancia l=0,8 m y unidos al eje de rotación mediante un hilo. Cuando la tensión que soporta el hilo es superior a 100 N este se rompe. Suponiendo que el cascarón cilíndrico tiene un radio de 0,4 m y que los discos dejan de ser masas puntuales sino que se aproximan a discos de radio el mismo que el del cilindro y anchura despreciable. Calcular: el trabajo necesario para conseguir que el hilo se rompa; La velocidad angular del sistema justo antes y después de que los discos se salgan del cascarón cilíndrico.
I=\int dmr^2\\
I=\frac{1}{2}dmR^2+dmx^2\\
I_{cil}=\int_{-L/2}^{L/2}\frac{1}{2}2\pi R\rho dxR^2+\rho2\pi Rx^2dx\\
I_{cil}=\frac{1}{12}ML^2+\frac{1}{2}MR^2\\
I_{total}=I_{cil}+I_{discos}=\frac{1}{12}ML^2+\frac{1}{2}MR^2+(\frac{1}{4}mR^2+ml^2)2T=m\cdot a_N=m\frac{v^2}{R}=m\omega^2R\;\rightarrow\;\omega_1=25 \;rad/s\\
W=\triangle E_C=E_{C rot}=\frac{1}{2}I\omega^2=160\;J\\
L=cte=I_{tot}\omega_1=I_{antes}\omega_{antes}\;\rightarrow\;\omega_{antes}=14,28\;rad/s\\
I_{tot}\omega_1=I_{cil}\omega_{despues}\;\rightarrow\;\omega_{despues}=36,36\;rad/sEjercicio 6
Un cilindro hueco de masa M, longitud L, y radio R, puede rotar respecto de un eje O situado a L/4 de uno de sus extremos. Demuestra que el momento de inercia del cilindro respecto del eje de giro es:
I_0=\frac{1}{2}MR^2+\frac{7}{48}ML^2A continuación, un proyectil de masa m=50g impacta contra el cilindro en el extremo más alejado del eje de rotación a una velocidad v0 con sentido horizontal. El proyectil sale rebotado con una velocidad que es la tercera parte de la inicial y sentido opuesto. Suponiendo M=0,2Kg, L=0,5m, R=0,05m. Calcula: la velocidad de rotación del cilindro después del impacto; La velocidad v0 mínima necesaria para que el cilindro realice un giro completo; La energía perdida en el impacto; La reacción en el eje de giro cuando el cilindro pasa por la posición más baja de su trayectoria después del impacto.
I_{aro}=\int dmR^2=\int_0^{2\pi}\rho d\theta R^3=\rho R^3 \theta]_0^{2\pi}=\rho R^3 2\pi =\frac{M}{2\pi R}R^32\pi=MR^2\\
2I_{aroY}=I_{aroCM}=\frac{MR^2}{2}\\
I_{cilY}=I_{aroY}+dmx^2\;\;\;;\;\;\;dm=\rho 2\pi Rdx\;\;\;;\;\;\;\rho=\frac{M}{2\pi RL}\\
I_{aroY}=\frac{MR^2}{2}=\frac{1}{2}dmR^2=\frac{1}{2}\rho 2\pi RdxR^2\\
I_{cilY}=\int_{-L/2}^{L/2}\frac{1}{2}\rho 2\pi dxR^3+\rho 2\pi Rdxx^2\\
I_{cilY}=\frac{1M}{2\cdot2\pi RL}2\pi R^3L+\frac{ML^3}{2\pi RL12}2\pi R\\
I_{cilY}=\frac{1}{2}MR^2+\frac{1}{12}ML^2\\
I_0=I_{cilY}+M(\frac{L}{4})^2=\frac{1}{2}MR^2+\frac{1}{12}ML^2+\frac{ML^2}{16}\\
I_0=\frac{1}{2}MR^2+\frac{7}{48}ML^2R\times P=I\omega - R\times P\\
Rmv_0=(\frac{1}{2}MR^2+\frac{7}{48}ML^2)\omega -Rm\frac{v_0}{3}\\
radio \;de \;giro\;\rightarrow\;L-L/4=3L/4\\
\frac{3L}{4}mv_0+\frac{3L}{4}m\frac{v_0}{3}=(\frac{1}{2}MR^2+\frac{7}{48}ML^2)\omega\\
\omega=\frac{\frac{3L}{4}m\frac{4}{3}v_0}{I}=3,31 v_0E_{m0}=E{mf}\\
-Mgh-mgh´+\frac{1}{2}I\omega ^2=Mgh\\
-Mg\frac{L}{2}-mg\frac{3L}{4}+\frac{1}{2}I(3,31v_0)^2=Mg\frac{L}{2}\\
v_0=5,4m/sE_{perdida}=E_{cf}-E_{co}=(\frac{1}{2}mv_f^2+\frac{1}{2}I\omega ^2)-\frac{1}{2}mv_0^2\\
E_{perdida}=\frac{1}{2}m(\frac{v_0}{3})^2+\frac{1}{2}I(3,31v_0)^2-\frac{1}{2}mv_0^2\\
E_{perdida}=0,557 J\sum F=m\cdot a\\
R-P=m\cdot a_n=m\frac{v^2}{R}\\
R=m\frac{v^2}{R}+P\\
R=118NEspero que te haya gustado el artículo y, sobre todo, que te sirva de ayuda. ¿Tienes alguna duda o sugerencia? Puedes dejar tu opinión en los comentarios. ¡Gracias por llegar hasta aquí!